803.

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Neka su x1x_1ix2x_2rešenja jednačine (5−x):(x+1)=(x−1):(x+a).(5-x):(x+1)=(x-1):(x+a). Odrediti parametar aatako da je x12+x22=26.x_1^2+x_2^2=26.

REŠENJE ZADATKA

Zapisati izraz u obliku razlomka.

5−xx+1=x−1x+a\frac{5-x}{x+1}=\frac{x-1}{x+a}

Prebaciti razlomke na istu stranu jednakosti.

5−xx+1−x−1x+a=0\frac{5-x}{x+1}-\frac{x-1}{x+a}=0

Dovesti razlomke na zajednički imenilac (x+1)(x+a).(x+1)(x+a).

(5−x)(x+a)−(x−1)(x+1)(x+1)(x−a)=05x+5a−x2−xa−(x2−1)(x+1)(x−a)=0−2x2−x(a−5)+5a+1(x+1)(x+a)=0\frac{(5-x)(x+a)-(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-a)}=0\\ \frac{5x+5a-x^2-xa-(x^2-1)}{(x+1)(x-a)}=0\\ \frac{-2x^2-x(a-5)+5a+1}{(x+1)(x+a)}=0

Razlomak je jednak nuli kada mu je delilac jednak nuli.

−2x2−x(a−5)+5a+1=0-2x^2-x(a-5)+5a+1=0

Izraz je definisan kada (x+1)(x+a)≠0(x+1)(x+a)\not=0tj. x≠−1x\not=-1ix≠−a.x\not=-a.

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je a=−1,b=−(x−5)a=-1, b=-(x-5)ic=5a+1.c=5a+1.

x1+x2=−ba=−a−52,x1x2=ca=−5a+12x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{a-5}{2}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5a+1}{2}

Vratiti se na zadatu relaciju i primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Uvrstiti određene vrednosti za Vietove formule.

26=(−a−52)2−2⋅(−5a+12)26=(a−5)24+(5a+1)26=(-\frac{a-5}{2})^2-2\cdot(-\frac{5a+1}{2})\\ 26=\frac{(a-5)^2}{4}+(5a+1)

Primeniti formulu za kvadrat razlike(a−b)2=a2−2ab+b2.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

104=a2−10a+25+20a+4a2+10a−75=0104=a^2-10a+25+20a+4\\ a^2+10a-75=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}gde je a=1, b=10a=1, \space b=10i c=−75.c=-75.

a1=5,a2=−15a_1=5,\quad a_2=-15

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti