782.

Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

U datoj jednačini odrediti realan parametar mmtako da rešenja jednačine zadovoljavaju datu relaciju

(m−1)x2+(m+1)x+m+1=0,x13+x22=x12x22.(m-1)x^2+(m+1)x+m+1=0, \quad x_1^3+x_2^2=x_1^2x_2^2.
REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je a=m−1,b=m+1,a=m-1, b=m+1,ic=m+1.c=m+1.

x1+x2=−ba=−m+1m−1,x1x2=ca=m+1m−1x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{m+1}{m-1}, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m+1}{m-1}

Primeniti formulu za kub zbira (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

(x1+x2)3−(3x12x2+3x1x22)=(x1x2)2(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=(x1x2)2(x1+x2)((x1+x2)2−3x1x2)=(x1x2)2(x_1+x_2)^3-(3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)=(x_1x_2)^2\\ (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=(x_1x_2)^2\\ (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=(x_1x_2)^2

Uvrstiti vrednosti za Vietove formule.

−m+1m−1⋅((−m+1m−1)2−3⋅m+1m−1)=(m+1m−1)2-\frac{m+1}{m-1}\cdot((-\frac{m+1}{m-1})^2-3\cdot\frac{m+1}{m-1})=(\frac{m+1}{m-1})^2

Srediti izraz.

−1+2m+m2(m−1)2+3(m+1)(m−1)(m−1)2=m+1m−13m2−3−1−2m−m2(m−1)2=m+1m−12m2−2m−4(m−1)2=m+1m−1-\frac{1+2m+m^2}{(m-1)^2}+\frac{3(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}\\ \frac{3m^2-3-1-2m-m^2}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}\\ \frac{2m^2-2m-4}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}

Prebaciti razlomke na istu stranu jednakosti i dovesti ih na zajednički imenilac (m−1)2.(m-1)^2.

2m2−2m−4−(m+1)(m−1)(m−1)2=02m2−2m−4−m2+1(m−1)2=0m2−2m−3(m−1)2=0\frac{2m^2-2m-4-(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}=0\\ \frac{2m^2-2m-4-m^2+1}{(m-1)^2}=0\\ \frac{m^2-2m-3}{(m-1)^2}=0

Razlomak je jednak nuli ako mu je delilac jednak nuli.

m2−2m−3=0m^2-2m-3=0

Primeniti formulu za kvadratnu jednačinu x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}gde je a=1, b=−2a=1, \space b=-2i c=−3.c=-3.

m1=−1,m2=3m_1=-1,\quad m_2=3

Rešenja su definisana uz uslov da (m−1)2≠0(m-1)^2\not=0tj.(m−1)≠0  ⟹  m≠1.(m-1)\not=0\implies m\not=1.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti