770. Ispitivanje rešenja kvadratne jednačine

TEKST ZADATKA

Ne rešavajući jednačinu $x^2-8x+15=0$ odrediti vrednost izraza

\frac{7x_1^2-5x_1x_2+7x_2}{x_1^3-3x_1^2x_2+3x_1x_2^2-x_2^3}, \quad x_1>x_2

REŠENJE ZADATKA

Odrediti vrednosti osnovnih Vietovih formula znajući da je $a=1, b=-8$ i $c=15.$

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=8, \quad x_1x_2=\frac{c}{a}=15

Srediti izraz:

\frac{7(x_1^2+x_2^2)-5x_1x_2}{x_1^3-3x_1^2x_2+3x_1x_2^2-x_2^3}

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ i formulu za kub razlike $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$

\frac{7((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)-5x_1x_2}{(x_1-x_2)^3}=\frac{7(x_1+x_2)-19x_1x_2}{(x_1-x_2)^3}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Potrebno je zapisati izraz $(x_1-x_2)^3$ na drugi način:

(x_1-x_2)^3=(x_1-x_2)^2(x_1-x_2)

Sada je potrebno zapisati izraz $(x_1-x_2)^2$ na drugi način:

(x_1-x_2)^2=x_1^2+2x_1x_1+x_2^2-4x_1x_2\\ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\implies x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

Vratiti se na početni izraz $(x_1-x_2)^3=(x_1-x_2)^2(x_1-x_2)$ i uvrstiti nove izraze:

(x_1-x_2)^3=((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)(\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})

Vratiti se na sređivanje izraza datog u zadatku:

\frac{7(x_1+x_2)^2-19x_1x_2}{((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)(\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})}

Uvrstiti vrednosti za Vietove formule:

\frac{7\cdot8^2-19\cdot15}{(8^2-4\cdot15)(\sqrt{8^2-4\cdot15})}=\frac{163}{8}

22. Ispitivanje rešenja