735.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x2−3xy+4y2=2−3x2+xy+5y2=−5x^2-3xy+4y^2=2 \\ -3x^2+xy+5y^2=-5
REŠENJE ZADATKA

Prvu jednačinu pomnožiti sa 5,5, a drugu sa 2.2.

5x2−15xy+20y2=10−6x2+2xy+10y2=−105x^2-15xy+20y^2=10 \\ -6x^2+2xy+10y^2=-10

Sabiranjem prve i druge jednačine, dobija se homogena jednačina oblika x2+xy+y2:x^2+xy+y^2:

5x2−15xy+20y2−6x2+2xy+10y2=10−10−x2−13xy+30y2=05x^2-15xy+20y^2-6x^2+2xy+10y^2=10-10 \\ -x^2-13xy+30y^2=0

Podeliti obe strane sa y2,y^2, uz pretpostavku da y≠0.y\ne0.

−x2y2−13xyy2+30y2y2=0−(xy)2−13⋅xy+30=0-\frac{x^2}{y^2}-\frac{13xy}{y^2}+\frac{30y^2}{y^2}=0 \\ -\bigg(\frac xy\bigg)^2-13\cdot\frac xy+30=0

Uvesti smenu t=xy.t=\frac{x}{y}.

−t2−13t+30=0-t^2-13t+30=0

Pomnožiti izraz sa −1.-1.

t2+13t−30=0t^2+13t-30=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=13b=13 i c=−30c=-30

t1,2=−13±132−4⋅1⋅(−30)2⋅1t1,2=−13±172t1=−15∨t2=2t_{1,2}=\frac {-13\pm\sqrt{13^2-4\cdot1\cdot(-30)} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {-13\pm17} {2} \\ t_1=-15 \quad \lor \quad t_2=2

Vratiti originalne promenljive xx i y.y. Dobijaju se dva slučaja.

1.xy=−15  ⟹  x=−15y2.xy=2  ⟹  x=2y1. \quad \frac{x}{y}=-15 \implies x=-15y \\ 2. \quad \frac{x}{y}=2 \implies x=2y

Uvrstiti x=−15yx=-15y i x=2yx=2y u jednu od jednačina sistema:

x2−3xy+4y2=2x^2-3xy+4y^2=2

Prvi slučaj: x=−15yx=-15y

(−15y)2−3⋅(−15y)⋅y+4y2=2225y2+45y2+4y2=2274y2=2y2=1137y1=137137∨y2=−137137(-15y)^2-3\cdot(-15y)\cdot y+4y^2=2 \\ 225y^2+45y^2+4y^2=2 \\ 274y^2=2 \\ y^2=\frac 1 {137} \\ y_1=\frac{\sqrt{137}}{137} \quad\lor\quad y_2=-\frac{\sqrt{137}}{137}

Iz x=−15yx=-15y sledi:

x1=−15⋅137137=−15137137x2=−15⋅(−137137)=15137137x_1=-15\cdot \frac{\sqrt{137}}{137} =-\frac{15\sqrt{137}}{137} \\ x_2=-15\cdot\bigg(-\frac{\sqrt{137}}{137} \bigg)=\frac{15\sqrt{137}}{137}

Rešenja prvog sistema su:

(−15137137, 137137) i (15137137, −137137)\bigg(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ \frac{\sqrt{137}}{137}\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ -\frac{\sqrt{137}}{137}\bigg)

Drugi slučaj: x=2yx=2y

(2y)2−3⋅2y⋅y+4y2=24y2−6y2+4y2=22y2=2y1=1∨y2=−1(2y)^2-3\cdot 2y \cdot y+4y^2=2 \\ 4y^2-6y^2+4y^2=2 \\ 2y^2=2 \\ y_1=1 \quad\lor\quad y_2=-1

Iz x=2yx=2y sledi:

x1=2⋅1=2x2=2⋅(−1)=−2x_1=2\cdot 1=2 \\ x_2=2\cdot (-1)=-2

Rešenja drugog sistema su:

(2,1) i (−2,−1)(2,1) \ \text{i} \ (-2,-1)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(−15137137, 137137), (15137137, −137137), (2,1) i (−2,−1)\bigg(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ \frac{\sqrt{137}}{137}\bigg), \ \bigg(\frac{15\sqrt{137}}{137}, \ -\frac{\sqrt{137}}{137}\bigg), \ (2,1) \ \text{i} \ (-2,-1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti