Sistem: y na 2 − 1 = 4x na 2 + 4x i još jedna

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

y^2-1=4x^2+4x \\ 4x^2+y^2-3xy=1

REŠENJE ZADATKA

Iz prve jednačine dobijaju se relacije između $x$ i $y.$

y^2-1=4x^2+4x \\ y^2=4x^2+4x+1\\ y^2=(2x+1)^2 \\ y_1=2x+1 \quad\lor\quad y_2=-2x-1

Odatle se dobijaju dva sistema jednačina:

1. \ y_1=2x+1 \\ \quad 4x^2+y^2-3xy=1 \\ 2. \ y_2=-2x-1 \\ \quad 4x^2+y^2-3xy=1

Kako bi se dobilo rešenje prvog sistema, uvrstiti $y_1=2x+1$ u drugu jednačinu.

4x^2+(2x+1)^2-3x\cdot(2x+1)=1 \\ 4x^2+4x^2+4x+1-6x^2-3x=1\\ 2x^2+x=0 \\x(2x+1)=0 \\ x_{1,1}=0 \quad\lor\quad x_{1,2}=-\frac12

Iz $y_1=2x+1$ sledi:

y_{1,1}=2\cdot 0+1=1 \\ y_{1,2}=2\cdot\bigg(-\frac12\bigg)+1=-1+1=0

Rešenja prvog sistema su:

(0,1) \ \text{i} \ \bigg(-\frac12, \ 0 \bigg)

Kako bi se dobilo rešenje drugog sistema, uvrstiti $y_2=-2x-1$ u drugu jednačinu.

4x^2+(-2x-1)^2-3x\cdot(-2x-1)=1 \\ 4x^2+4x^2+4x+1+6x^2+3x=1 \\ 14x^2+7x=0 \\ 7x(2x+1)=0 \\ x_{2,1}=0 \quad\lor\quad x_{2,2}=-\frac12

Iz $y_2=-2x-1$ sledi:

y_{2,1}=-2\cdot0-1=-1 \\ y_{2,2}=-2\cdot\bigg(-\frac12\bigg)-1=2-1=1

Rešenja drugog sistema su:

(0,-1) \ \text {i} \ \bigg(-\frac 12, \ 1\bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(0,1), \ \bigg(-\frac12, \ 0 \bigg), \ (0,1) \ \text{i} \ \bigg(-\frac12, \ 0 \bigg)

$y^2-1=4x^2+4x, \ 4x^2+y^2-3xy=1$