Sistem: zbir kubova 2 i xy(x + y) = 2

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^3+y^3=2 \\ xy(x+y)=2

REŠENJE ZADATKA

Pomnožiti drugu jednačinu sa $3.$

3xy(x+y)=6

Sabrati prvu i drugu jednačinu sistema nakon množenja.

x^3+y^3+3xy(x+y)=2+6 \\ x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=8

Primeniti formulu za kub zbira: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

(x+y)^3=2^3 \\ x+y=2

Novonastali sistem glasi:

x+y=2 \\ xy(x+y)=2

Izraziti $x$ iz prve jednačine:

x+y=2 \implies x=2-y

Uvrstiti $x=2-y$ u drugu jednačinu.

(2-y)\cdot y\cdot (2-y+y)=2 \\ (2-y)\cdot2y=2\\ (2-y)\cdot y=1 \\ -y^2+2y-1=0\\ -(y-1)^2=0\\y=1

Iz $x=2-y$ sledi:

x=2-1=1

Rešenje sistema je:

(1,1)

$x^3+y^3=2, \ xy(x+y)=2$