Sistem sa zbirom i proizvodom: rešenja (1, 2) i (1, −3)

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x+y+x^2+y^2=8 \\ xy+x^2+y^2=7

REŠENJE ZADATKA

Oduzeti drugu jednačinu od prve.

x+y+x^2+y^2-xy-x^2-y^2=8-7 \\ x+y-xy=1

Drugoj jednačini dodati i oduzeti $xy,$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

xy+x^2+y^2+xy-xy=7 \\ x^2+2xy+y^2-xy=7 \\ (x+y)^2-xy=7

Novonastali sistem glasi:

x+y-xy=1 \\ (x+y)^2-xy=7

Izražavanjem $x,$ odnosno $y$ iz prve jednačine dobijaju se dve mogućnosti:

x_1=1 \quad\lor\quad y_2=1

Tada se sistem dali na dva podsistema:

1. \ x_1=1 \\ \quad (x+y)^2-xy=7 \\ 2. \ y_2=1 \\ \quad (x+y)^2-xy=7

Uvrštanjem $x_1=1$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

(1+y)^2-y=7 \\ 1+2y+y^2-y=7 \\y^2+y-6=0 \\ y_{1,1}=-3 \quad\lor\quad y_{1,2}=2

Rešenja prvog sistema su:

(1,-3) \ \text{i} \ (1,2)

Uvrštanjem $y_2=1$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja drugog sistema:

(x+1)^2-x=7 \\ x^2+2x+1-x=7 \\ x^2+x-6=0 \\ x_{2,1}=-3 \quad\lor\quad x_{2,2}=2

Rešenja drugog sistema su:

(-3,1) \ \text{i} \ (2,1)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(1,-3), \ (1,2), \ (-3,1) \ \text{i} \ (2,1)

$x+y+x^2+y^2=8, \ xy+x^2+y^2=7$