Sistem sa smenom razlomka i proizvodom xy = 6

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{26}5 \\ xy=6

REŠENJE ZADATKA

U prvu jednačinu uvesti smenu $\frac {x+y}{x-y}=t.$

t+\frac1t=\frac{26}5

Pomnožiti jednačinu sa $5t.$

5t^2+5=26t \\ 5t^2-26t+5=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=5,$ $b=-26$ i $c=5$

t_{1,2}=\frac {26\pm\sqrt{(-26)^2-4\cdot5\cdot5}} {2\cdot5} \\ t_{1,2}=\frac {26\pm24} {10} \\ t_1=5 \quad\lor\quad t_2=\frac 15

Vratiti smenu $\frac{x+y}{x-y}=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

\frac{x+y}{x-y}=5 \quad\lor\quad \frac{x+y}{x-y}=\frac15

Izraziti $y$ iz obe jednačine.

y_1=\frac23x \quad\lor\quad y_2=-\frac 23x

Dobijaju se dva sistema jednačina.

1. \ y_1=\frac 23x \\ \quad xy=6 \\ 2. \ y_2=-\frac 23x \\ \quad xy=6

Uvrštanjem $y_1=\frac23x$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x\cdot \frac 23x=6 \\ 2x^2=18 \\ x^2=9 \\ x_{1,1}=3 \quad\lor\quad x_{1,2}=-3

Iz $y_1=\frac 23x$ sledi:

y_{1,1}=\frac23 \cdot 3=2 \\ y_{1,2}=\frac23\cdot (-3)=-2

Rešenja prvog sistema su:

(3,2)\ \text {i} \ (-3,-2)

Uvrštanjem $y_2=-\frac23x$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x\cdot\bigg(-\frac23x\bigg)=6 \\ -2x^2=18 \\ x^2=-9 \\ x_{2,1}=3i \quad\lor\quad x_{2,2}=-3i

Iz $y_2=-\frac 23x$ sledi:

y_{2,1}=-\frac 23\cdot3i=-2i \\ y_{2,2}=-\frac23\cdot(-3i)=2i

Rešenja drugog sistema su:

(3i, -2i) \ \text{i} \ (-3i,2i)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(3,2), \ (-3,-2), \ (3i,-2i) \ \text{i} \ (-3i,2i)

$\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{26}5, \ xy=6$