Sistem sa smenom razlomka i zbirom kvadrata 82

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}=\frac 9{20} \\ x^2+y^2=82

REŠENJE ZADATKA

U prvu jednačinu uvesti smenu $\frac {x+y}{x-y}=t.$

t-\frac1t=\frac 9{20}

Pomnožiti jednačinu sa $20t.$

20t^2-20=9t \\ 20t^2-9t-20=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=20,$ $b=-9$ i $c=-20$

t_{1,2}=\frac {9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot20\cdot(-20)}} {2\cdot20} \\ t_{1,2}=\frac {9\pm41} {40} \\ t_1=-\frac45 \quad\lor\quad t_2=\frac 54

Vratiti smenu $\frac{x+y}{x-y}=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

\frac{x+y}{x-y}=-\frac45 \quad\lor\quad \frac{x+y}{x-y}=\frac54

Izraziti $y$ iz obe jednačine.

y_1=-9x \quad\lor\quad y_2=\frac19x

Dobijaju se dva sistema jednačina.

1. \ y_1=-9x \\ \quad x^2+y^2=82 \\ 2. \ y_2=\frac19x \\ \quad x^2+y^2=82

Uvrštanjem $y_1=-9x$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x^2+(-9x)^2=82\\ x^2+81x^2=82 \\ 82x^2=82 \\ x^2=1\\ x_1=\pm1

Iz $y_1=-9x$ sledi:

y_{1,1}=-9\cdot1=-9\\ y_{1,2}=-9\cdot(-1)=9

Rešenja prvog sistema su:

(1,9), \ (1,-9), \ (-1,9)\ \text{i} \ (-1,-9)

Uvrštanjem $y_2=\frac19x$ u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x^2+\bigg(\frac19x\bigg)^2=82 \\ x^2+\frac {x^2}{81}=82 \\ 81x^2+x^2=6642 \\ 82x^2=6642 \\ x^2=81\\ x_2=\pm9

Iz $y_2=\frac 19x$ sledi:

y_{2,1}=\frac19\cdot9=1 \\ y_{2,2}=\frac19\cdot(-9)=-1

Rešenja drugog sistema su:

(9,1), \ (9,-1), \ (-9,1) \ \text{i} \ (-9,-1)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(1,9), \ (1,-9), \ (-1,9), \ (-1,-9), \ (9,1), \ (9,-1), \ (-9,1) \ \text{i} \ (-9,-1)

$\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}=\frac 9{20}, \ x^2+y^2=82$