747. Sistem jednačina | Balkan Tutor

Rešiti sistem jednačina.

x^4+x^2y^2+y^4=481 \\ x^2+xy+y^2=37

Prvoj jednačini dodati i oduzeti $x^2y^2$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

x^4+x^2y^2+y^4+x^2y^2-x^2y^2=481 \\ x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2=481 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2=481

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=481

Kako se u izrazu pojavljuje jednakost iz druge jednačine sistema, zameniti $x^2+xy+y^2$ sa 37.

37(x^2+y^2-xy)=481\\ x^2-xy+y^2=13

Sistem se svodi na:

x^2-xy+y^2=13 \\ x^2+xy+y^2=37

Oduzeti drugu jednačinu od prve i izraziti $y.$

x^2-xy+y^2-x^2-xy-y^2=13-37\\ -2xy=-24\\ xy=12 \implies y=\frac{12}x

Uvrstiti $y=\frac{12}x$ u jednu od jednačina sistema.

x^2+x\cdot\frac{12}x+\bigg(\frac{12}x\bigg)^2=37\\ x^2+12+\frac{144}{x^2}=37 \\ x^4+12x^2-37x^2+144=0 \\ x^4-25x^2+144=0

Uvesti smenu $x^2=t.$

t^2-25t+144=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-25$ i $c=144$

t_{1,2}=\frac {25\pm\sqrt{(-25)^2-4\cdot1\cdot144} } {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {25\pm7} {2} \\ t_1=16 \quad \lor \quad t_2=9

Vratiti smenu $x^2=t$ i uvrstiti dobijene vrednosti.

x^2=16 \quad\lor\quad x^2=9 \\ x_1=\pm4 \quad\lor\quad x_2=\pm3

Iz $y=\frac {12}x$ sledi:

y_1=\frac{12} {\pm4}=\pm3 \\ y_2=\frac{12}{\pm3}=\pm4

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(4,3), \ (3,4), \ (-4,-3) \ \text{i} \ (-3,-4)

747.Sistem jednačina