Sistem sa smenama x + y i xy: četiri rešenja

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2y+xy^2=30 \\ xy+x+y=11

REŠENJE ZADATKA

Srediti prvu jednačinu. Sistem jednačina postaje:

xy(x+y)=30 \\ xy+x+y=11

Uvesti smene $x+y=m$ i $xy=n.$ Tada jednačine glase:

mn=30 \\ m+n=11

Izraziti $n$ iz druge jednačine.

m+n=11 \implies n=11-m

Uvrstiti $n=11-m$ u prvu jednačinu.

m(11-m)=30 \\ 11m-m^2=30 \\ m^2-11m+30=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-11$ i $c=30$

m_{1,2} = \frac{11\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot1\cdot30}}{2\cdot 1}\\ m_{1,2} = \frac{11\pm1}{2}\\ m_1=5 \quad \lor \quad m_2=6

Uvrstiti $m_1=5$ i $m_2=6$ u jednačinu $n=11-m.$

n_1=11-5=6 \\ n_2=11-6=5

Rešenje za promenjive $m$ i $n$ su uređeni parovi:

(5, \ 6) \text{ i } (6, \ 5)

Uvrstiti dobijene vrednosti za $m$ i $n$ u jednačine:

x+y=m\\ xy=n

Od uređenog para $(5, \ 6)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=5 \\ xy=6

Od uređenog para $(6, \ 5)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=6 \\ xy=5

Rešenja prvog sistema su:

(5,1) , \ (1,5)

Rešenja drugog sistema su:

(2,3) , \ (3,2)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(5,1) , \ (1,5), \ (2,3) , \ (3,2)

$x^2y+xy^2=30, \ xy+x+y=11$