Sistem: zbir kvadrata 17 i x + xy + y = 9

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x^2+y^2=17 \\ x+xy+y=9

REŠENJE ZADATKA

Prvoj jednačini dodati i oduzeti $2xy$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

x^2+2xy+y^2-2xy=17 \\ (x+y)^2-2xy=17

Uvesti smene $x+y=m$ i $xy=n.$ Tada jednačine glase:

m^2-2n=17 \\ m+n=9

Izraziti $n$ iz druge jednačine.

m+n=9 \implies n=9-m

Uvrstiti $n=9-m$ u prvu jednačinu.

m^2-2(9-m)=17 \\ m^2+2m-18=17 \\ m^2+2m-35=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=2$ i $c=-35$

m_{1,2} = \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-35)}}{2\cdot 1}\\ m_{1,2} = \frac{-2\pm12}{2}\\ m_1=5 \quad \lor \quad m_2=-7

Uvrstiti $m_1=5$ i $m_2=-7$ u jednačinu $n=9-m.$

n_1=9-5=4 \\ n_2=9-(-7)=9+7=16

Rešenje za promenjive $m$ i $n$ su uređeni parovi:

(5, \ 4) \text{ i } (-7, \ 16)

Uvrstiti dobijene vrednosti za $m$ i $n$ u jednačine:

x+y=m\\ xy=n

Od uređenog para $(5, \ 4)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=5 \\ xy=4

Od uređenog para $(-7, \ 16)$ dobija se sistem jednačina:

x+y=-7\\ xy=16

Rešenja prvog sistema su:

(1,4) \ \text{i}\ (4,1)

Rešenja drugog sistema su:

\bigg(\frac{-7+i\sqrt{15}}2, \ \frac{-7-i\sqrt{15}}2\bigg) \ \text{i} \ \bigg(\frac{-7-i\sqrt{15}}2, \ \frac{-7+i\sqrt{15}}2\bigg)

Konačno rešenje je skup uređenih parova:

(1,4), \ (4,1), \ \bigg(\frac{-7+i\sqrt{15}}2, \ \frac{-7-i\sqrt{15}}2\bigg), \ \bigg(\frac{-7-i\sqrt{15}}2, \ \frac{-7+i\sqrt{15}}2\bigg)

$x^2+y^2=17, \ x+xy+y=9$