743.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x+y+x2+y2=8xy+x2+y2=7x+y+x^2+y^2=8 \\ xy+x^2+y^2=7
REŠENJE ZADATKA

Oduzeti drugu jednačinu od prve.

x+y+x2+y2−xy−x2−y2=8−7x+y−xy=1x+y+x^2+y^2-xy-x^2-y^2=8-7 \\ x+y-xy=1

Drugoj jednačini dodati i oduzeti xy,xy, kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat zbira: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

xy+x2+y2+xy−xy=7x2+2xy+y2−xy=7(x+y)2−xy=7 xy+x^2+y^2+xy-xy=7 \\ x^2+2xy+y^2-xy=7 \\ (x+y)^2-xy=7

Novonastali sistem glasi:

x+y−xy=1(x+y)2−xy=7x+y-xy=1 \\ (x+y)^2-xy=7

Izražavanjem x,x, odnosno yy iz prve jednačine dobijaju se dve mogućnosti:

x1=1∨y2=1x_1=1 \quad\lor\quad y_2=1
DODATNO OBJAŠNJENJE

Tada se sistem dali na dva podsistema:

1. x1=1(x+y)2−xy=72. y2=1(x+y)2−xy=71. \ x_1=1 \\ \quad (x+y)^2-xy=7 \\ 2. \ y_2=1 \\ \quad (x+y)^2-xy=7

Uvrštanjem x1=1x_1=1 u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

(1+y)2−y=71+2y+y2−y=7y2+y−6=0y1,1=−3∨y1,2=2(1+y)^2-y=7 \\ 1+2y+y^2-y=7 \\y^2+y-6=0 \\ y_{1,1}=-3 \quad\lor\quad y_{1,2}=2

Rešenja prvog sistema su:

(1,−3) i (1,2)(1,-3) \ \text{i} \ (1,2)

Uvrštanjem y2=1y_2=1 u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja drugog sistema:

(x+1)2−x=7x2+2x+1−x=7x2+x−6=0x2,1=−3∨x2,2=2(x+1)^2-x=7 \\ x^2+2x+1-x=7 \\ x^2+x-6=0 \\ x_{2,1}=-3 \quad\lor\quad x_{2,2}=2

Rešenja drugog sistema su:

(−3,1) i (2,1)(-3,1) \ \text{i} \ (2,1)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(1,−3), (1,2), (−3,1) i (2,1)(1,-3), \ (1,2), \ (-3,1) \ \text{i} \ (2,1)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti