744.

Sistem jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina.

x+yx−y+x−yx+y=265xy=6\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{26}5 \\ xy=6
REŠENJE ZADATKA

U prvu jednačinu uvesti smenu x+yx−y=t.\frac {x+y}{x-y}=t.

t+1t=265t+\frac1t=\frac{26}5

Pomnožiti jednačinu sa 5t.5t.

5t2+5=26t5t2−26t+5=05t^2+5=26t \\ 5t^2-26t+5=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=5,a=5, b=−26b=-26 i c=5c=5

t1,2=26±(−26)2−4⋅5⋅52⋅5t1,2=26±2410t1=5∨t2=15t_{1,2}=\frac {26\pm\sqrt{(-26)^2-4\cdot5\cdot5}} {2\cdot5} \\ t_{1,2}=\frac {26\pm24} {10} \\ t_1=5 \quad\lor\quad t_2=\frac 15

Vratiti smenu x+yx−y=t\frac{x+y}{x-y}=t i uvrstiti dobijena rešenja.

x+yx−y=5∨x+yx−y=15\frac{x+y}{x-y}=5 \quad\lor\quad \frac{x+y}{x-y}=\frac15

Izraziti yy iz obe jednačine.

y1=23x∨y2=−23xy_1=\frac23x \quad\lor\quad y_2=-\frac 23x
DODATNO OBJAŠNJENJE

Dobijaju se dva sistema jednačina.

1. y1=23xxy=62. y2=−23xxy=61. \ y_1=\frac 23x \\ \quad xy=6 \\ 2. \ y_2=-\frac 23x \\ \quad xy=6

Uvrštanjem y1=23xy_1=\frac23x u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x⋅23x=62x2=18x2=9x1,1=3∨x1,2=−3x\cdot \frac 23x=6 \\ 2x^2=18 \\ x^2=9 \\ x_{1,1}=3 \quad\lor\quad x_{1,2}=-3

Iz y1=23xy_1=\frac 23x sledi:

y1,1=23⋅3=2y1,2=23⋅(−3)=−2y_{1,1}=\frac23 \cdot 3=2 \\ y_{1,2}=\frac23\cdot (-3)=-2

Rešenja prvog sistema su:

(3,2) i (−3,−2)(3,2)\ \text {i} \ (-3,-2)

Uvrštanjem y2=−23xy_2=-\frac23x u drugu jednačinu, dobijaju se rešenja prvog sistema:

x⋅(−23x)=6−2x2=18x2=−9x2,1=3i∨x2,2=−3ix\cdot\bigg(-\frac23x\bigg)=6 \\ -2x^2=18 \\ x^2=-9 \\ x_{2,1}=3i \quad\lor\quad x_{2,2}=-3i

Iz y2=−23xy_2=-\frac 23x sledi:

y2,1=−23⋅3i=−2iy2,2=−23⋅(−3i)=2iy_{2,1}=-\frac 23\cdot3i=-2i \\ y_{2,2}=-\frac23\cdot(-3i)=2i

Rešenja drugog sistema su:

(3i,−2i) i (−3i,2i)(3i, -2i) \ \text{i} \ (-3i,2i)

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(3,2), (−3,−2), (3i,−2i) i (−3i,2i)(3,2), \ (-3,-2), \ (3i,-2i) \ \text{i} \ (-3i,2i)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti