Smena x na 2 − 5x + 6: kvadrat trinoma

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1

REŠENJE ZADATKA

Osloboditi se zagrada množenjem:

(x^2-5x+7)^2-(x^2-5x+6)=1

Jednačina se može zapisati kao:

(x^2-5x+6+1)^2-(x^2-5x+6)=1

Uvesti smenu $x^2-5x+6=t.$

(t+1)^2-t=1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

(t+1)^2-t-1=0

Primeniti formulu za kvadrat binoma: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

t^2+t=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

t(t+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

t_1=0 \quad\lor\quad t_2=-1

Vratiti smenu $x^2-5x+6=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x^2-5x+6=0 \quad\lor\quad x^2-5x+6=-1

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=\frac {5+i\sqrt3}2 \quad\lor\quad x=\frac {5-i\sqrt3}2

$(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1$