Recipročna jednačina četvrtog stepena sa smenom

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x^4-2x^3-x^2-2x+1=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti jednačinu sa $x^2, \ x\not=0.$

x^2-2x-1-\frac2 x+\frac1{x^2}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

\bigg(x^2+\frac1{x^2}\bigg)-2\bigg(x+\frac1 x\bigg)-1=0

Uvesti smenu $x+\frac 1x=t.$

t^2-2t-3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-2$ i $c=-3$

t_{1,2}=\frac {2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}} {2\cdot1} \implies t_1=-1, \quad t_2=3

Vratiti smenu $x+\frac 1x=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x+\frac 1x=-1 \quad\lor\quad x+\frac 1x=3

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=\frac {-1+i\sqrt3}2 \quad\lor\quad x=\frac {-1-i\sqrt3}2 \quad\lor\quad x=\frac {3+\sqrt5}2 \quad\lor\quad x=\frac {3-\sqrt5}2

$x^4-2x^3-x^2-2x+1=0$