589. Eksponencijalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

64\cdot9^x-84\cdot12^x+27\cdot16^x=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti izraz sa $12^x:$

64\cdot\bigg(\frac 34\bigg)^x-84+27\cdot\bigg(\frac 43\bigg)^x=0

Uvesti smenu $\big(\frac34\big)^x=t:$

64t-84+27t^{-1}=0

Pomnožiti izraz sa $t:$

64t^2-84t+27=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=64,$ $b=-84$ i $c=27$

t_{1,2}=\frac {84\pm\sqrt{(-84)^2-4\cdot64\cdot27}} {2\cdot64} \quad \implies \quad t_1=\frac34, \quad t_2=\frac 9{16}

Vratiti smenu $\big(\frac 34\big)^x$ umesto $t:$

\bigg(\frac 34\bigg)^x=\frac34 \quad\land\quad \bigg(\frac 34\bigg)^x=\frac 9{16}

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=1 \quad\land\quad x=2

64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=064\cdot9^x-84\cdot12^x+27\cdot16^x=064⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=0