Homogena eksponencijalna jednačina sa 9, 6 i 4 na x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

12\cdot 9^x-35\cdot6^x+18\cdot4^x=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa $4^x:$

\frac{12\cdot 9^x} {4^x}-\frac {35\cdot6^x}{4^x}+18\cdot1=0

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima: $\big({\frac a b}\big)^m= \frac {a^m} {b^m}$

12\cdot\bigg(\frac{9} {4}\bigg)^x-35\cdot\bigg(\frac {6}{4}\bigg)^x+18=0

Sve članove svesti na istu osnovu:

12\cdot\bigg(\frac3 2\bigg)^{2x}-35\cdot\bigg(\frac 32\bigg)^x+18=0

Uvesti smenu:

\bigg(\frac 32 \bigg)^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

12t^2-35t+18=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=12,$ $b=-35$ i $c=18$

t_{1,2}=\frac {35\pm\sqrt{35^2-4\cdot12\cdot18}} {2\cdot12} \implies t_1=\frac 94, \quad t_2=\frac 23

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

\bigg(\frac 32 \bigg)^x=\frac 94 \quad\lor\quad \bigg(\frac 32 \bigg)^x=\frac 2 3

Dobijaju se dva rešenja:

x=2 \quad \lor\quad x=-1

9. Eksponencijalna jednačina