Eksponencijalna jednačina: 9 na x + 6 na x = 2 · 4 na x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

9^x+6^x=2\cdot 4^x

REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa $4^x:$

\frac {9^x} {4^x}+\frac {6^x}{4^x}=2\cdot 1

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima: $\big({\frac a b}\big)^m= \frac {a^m} {b^m}$

\bigg(\frac 9 4 \bigg)^x+\bigg(\frac 6 4 \bigg)^x=2

Sve članove svesti na istu osnovu:

\bigg(\frac 3 2 \bigg)^{2x}+\bigg(\frac 32 \bigg)^x=2

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

\bigg(\frac 3 2 \bigg)^{2x}+\bigg(\frac 32 \bigg)^x-2=0

Uvesti smenu:

\bigg(\frac 32 \bigg)^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t^2+t-2=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=1$ i $c=-2$

t_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-2)}} {2\cdot1} \implies t_1=-2, \quad t_2=1

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

\bigg(\frac 32 \bigg)^x=-2 \quad\lor\quad \bigg(\frac 32 \bigg)^x=1

Prva jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

\bigg(\frac 32 \bigg)^x=-2\implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=0

7. Eksponencijalna jednačina