Eksponencijalna jednačina sa korenom u eksponentu

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

4^{\sqrt{x-2}}+16=10\cdot 2^{\sqrt{x-2}}

REŠENJE ZADATKA

Sve članove svesti na istu osnovu:

2^{2\sqrt{x-2}}+16=10\cdot 2^{\sqrt{x-2}}

Uvesti smenu:

2^{\sqrt{x-2}}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t^2+16=10t

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

t^2-10t+16=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-10$ i $c=16$

t_{1,2}=\frac {10\pm\sqrt{10^2-4\cdot1\cdot16}} {2\cdot1} \implies t_1=2, \quad t_2=8

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

2^{\sqrt{x-2}}=2 \quad \lor\quad 2^{\sqrt{x-2}}=8

Svođenjem na iste osnove, izjednačavanjem eksponenata i kvadriranjem dobijaju se rešenja jednačina:

x=3 \quad\lor\quad x=11

6. Eksponencijalna jednačina