Eksponencijalna jednačina: smena t = 2 na x

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

4^x - 10 \cdot 2^{x-1} = 24

REŠENJE ZADATKA

$4^{x}$ zapisati kao: $(2^{2})^{x} = 2^{2x}$ kako bi se svi članovi izraza sveli na istu osnovu 2.

2^{2x}-10 \cdot 2^{x-1}=24

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^{2x}-10\cdot2^x\cdot 2^{-1}=24

Primeniti pravilo za negativan eksponent: $a^{-m}={\frac 1 {a^m}} ,$ $a{=}\mathllap{/\,} 0 :$

2^{2x}-10\cdot 2^x\cdot \frac 1 2=24

2^{2x}-5\cdot2^x=24

Uvesti smenu: $2^x=t$

t^2-5t=24

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

t^2-5t-24=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=-24$

t_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-24)}} {2\cdot1} \implies t_1=-3, \quad t_2=8

Vratiti $2^{x}$ umesto smene $t.$

2^x=-3, \quad 2^x=8

Pošto $2^{x}$ ne može biti negativan broj, rešenje: $t_1=-3$ se odbacuje.

Rešenje jednačine je:

2^x=8

2^{x} = 2^{3}

x=3

Zadatak 1