Eksponencijalna jednačina: 3 na x+2 + 9 na x+1 = 810

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3^{x+2}+9^{x+1}=810

REŠENJE ZADATKA

Sve članove svesti na istu osnovu:

3^{x+2}+3^{2x+2}=810

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

3^x\cdot3^2+3^{2x}\cdot3^2=810

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

3^{2x}\cdot9+3^x\cdot9-810=0

Uvesti smenu:

3^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

9t^2+9t-810=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=9,$ $b=9$ i $c=-810$

t_{1,2}=\frac {-9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot9\cdot(-810)}} {2\cdot9} \implies t_1=9, \quad t_2=-10

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

3^x=9 \quad\lor\quad 3^x=-10

Druga jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

3^x=-10 \implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=2

11. Eksponencijalna jednačina