588. Eksponencijalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

4^x-10\cdot2^{x-1}=24

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^{2x}-5\cdot2^x=24

Uvesti smenu $2^x=t:$

t^2-5t=24

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

t^2-5t-24=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=-24$

t_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-24)}} {2\cdot1} \quad \implies \quad t_1=8, \quad t_2=-3

Vratiti smenu $2^x$ umesto $t.$ Druga jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

2^x=8 \quad\lor\quad 2^x=-3 \implies x=3 \quad\lor\quad x\not\in\mathbb{R}

Konačno rešenje:

x=3

4x−10⋅2x−1=244^x-10\cdot2^{x-1}=244x−10⋅2x−1=24