Podeli

587.
Eksponencijalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\frac 1 {2^{2x}+3}\ge \frac 1 {2^{x+2}-1}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

2^{2x}+3\not=0 \quad\land\quad2^{x+2}-1\not=0 \implies x\not=-2

DODATNO OBJAŠNJENJE

2^{2x}+3\not=0 \quad\land\quad2^{x+2}-1\not=0

2^{2x}\not=-3 \quad\land\quad2^{x+2}\not=1

x\in \mathbb{R} \quad\land\quad2^{x+2}\not=2^0

x\in \mathbb{R} \quad\land\quad x+2\not=0

Primeniti pravilo množenja stepena sa istom osnovom: $a^m \cdot a^n= a^{m+n}$

\frac 1 {2^{2x}+3}\ge \frac 1 {4\cdot2^x-1}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac 1 {2^{2x}+3}\ge \frac 1 {2^x\cdot2^2-1}

Uvesti smenu $2^x=t.$

\frac 1 {t^2+3}\ge \frac 1 {4t-1}, \quad t^2+3\not=0 \quad\land\quad 4t-1\not=0

Pomnožiti izraz sa $(t^2+3)(4t-1) :$

4t-1\ge t^2+3

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja, kada je $4t-1$ veće od $1$ i kada je $4t-1$ manje od $1:$

1. \quad 4t-1>0 \implies t>\frac 14 \\ 2. \quad 4t-1<1 \implies t<\frac 14

U prvom slučaju, kada je $4t-1$ veće od $1$ ne menja se smer znaka nejednakosti. Dobija se nejednačina:

4t-1\ge t^2+3

U drugom slučaju, kada je $4t-1$ manje od $1$ menja se smer znaka nejednakosti. Dobija se nejednačina:

4t-1\le t^2+3

Da bi se odredilo rešenje prvog slučaja, potrebno je utvrditi za koje vrednosti $t$ važi $4t-1\ge t^2+3$ i odrediti presek sa uslovom $t>\frac 14$

t=2 \quad\land\quad t>\frac 14 \implies t=2 \implies x=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

4t-1- t^2-3\ge0

- t^2+4t-4\ge0

t^2-4t+4\le0

(t-2)^2\le0

t=2

2^x=2

Da bi se odredilo rešenje drugog slučaja, potrebno je utvrditi za koje vrednosti $t$ važi $4t-1\le t^2+3$ i odrediti presek sa uslovom $t<\frac 14$

t\in\mathbb{R} \ \cap \ t<\frac 14 = t<\frac 14 \implies x<-2

DODATNO OBJAŠNJENJE

4t-1- t^2-3\le0

- t^2+4t-4\le0

t^2-4t+4\ge0

(t-2)^2\ge0

t<\frac 14 \implies 2^x<2^{-2}

Rešenje je jednako uniji rešenja oba slučaja.

x\in(-\infty,-2) \ \cup \ \{1\}

587.Eksponencijalna nejednačina