578. Eksponencijalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

(x^2+x+1)^x<1

REŠENJE ZADATKA

Desna strana nejednačine drugačije se može zapisati:

(x^2+x+1)^x<(x^2+x+1)^0

Rešavanje nejednačine razdvojiti na dva slučaja, kada je osnova veća od $1$ i kada je osnova između $0$ i $1:$

1. \quad x^2+x+1>1 \implies x\in(-\infty, -1)\cup(0,\infty) \\ 2. \quad 0<x^2+x+1<1 \implies x\in(-1, 0)

U prvom slučaju, kada je osnova $x^2+x+1$ veća od $1$ ne menja se smer znaka nejednakosti. Poređenjem eksponenata dobija se nejednačina:

x<0

U drugom slučaju, kada je osnova $x^2+x+1$ manja od $1$ i veća od $0$ menja se smer znaka nejednakosti. Poređenjem eksponenata dobija se nejednačina:

x>0

Da bi se odredilo rešenje prvog slučaja, potrebno je utvrditi presek $x<0$ sa uslovom $x\in(-\infty, -1)\cup(0,\infty)$

x\in(-\infty, 0) \ \cap \ (\ (-\infty, -1)\cup(0,\infty) \ )= (-\infty, -1)

Da bi se odredilo rešenje drugog slučaja, potrebno je utvrditi presek $x>0$ sa uslovom $x\in(-1,0)$

x\in(0, \infty) \ \cap \ (-1,0)=\varnothing

Rešenje je jednako uniji rešenja oba slučaja.

x\in(-\infty, -1)

(x2+x+1)x<1(x^2+x+1)^x<1(x2+x+1)x<1