553. Eksponencijalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

10^{2\sqrt{x}}+25^{\sqrt{x}}\le4,25\cdot50^{\sqrt{x}}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

\sqrt{x}\ge0 \implies x\ge0

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

100^{\sqrt{x}}+25^{\sqrt{x}}-4,25\cdot50^{\sqrt{x}}\le0

Decimalni broj pretvoriti u razlomak:

100^{\sqrt{x}}+25^{\sqrt{x}}-\frac {17} 4\cdot50^{\sqrt{x}}\le0

Pomnožiti izraz sa 4.

4 \cdot 100^{\sqrt{x}}+ 4\cdot 25^{\sqrt{x}}- 17\cdot50^{\sqrt{x}}\le0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

25^{\sqrt{x}}(4 \cdot 4^{\sqrt{x}}+4-17\cdot2^{\sqrt{x}})\le0

Članove u zagradi svesti na osnovu $2.$

25^{\sqrt{x}}(4\cdot2^{2\sqrt{x}}+4-17\cdot2^{\sqrt{x}})\le0

Uvesti smenu $2^{\sqrt{x}}=t.$

25^{\sqrt{x}}(4t^2-17t+4) \le 0

S obzirom da je izraz $25^{\sqrt{x}}$ uvek pozitivan, određivanje znaka nejednačine zavisi isključivo od znaka kvadratne funkcije $4t^2-17t+4.$

Pronaći nule funkcije:

4t^2-17t+4=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-17$ i $c=4$

t_{1,2}=\frac {17\pm\sqrt{(-17)^2-4\cdot4\cdot4}} {2\cdot4} \implies t_1=4, \quad t_2=\frac 14

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2$ i $a=4.$

4(t-4)(t-\frac 1 4) \le 0

Vratiti smenu:

4(2^{\sqrt{x}}-4)(2^{\sqrt{x}}-\frac 14)\le0

Da bi izraz bio manji ili jednak nuli, moguće su dve situacije: ili je prvi činilac pozitivan, a drugi negativan, ili je prvi činilac negativan, a drugi pozitivan.

1. \quad 2^{\sqrt{x}}-4\ge0 \quad\land\quad 2^{\sqrt{x}}-\frac 14\le0 \\ 2. \quad 2^{\sqrt{x}}-4\le0 \quad\land\quad 2^{\sqrt{x}}-\frac 14\ge0

U prvom slučaju nema rešenja u skupu realnih brojeva.

x \in\varnothing

U drugom slučaju rešenje je:

x \in [0, 4]

Rešenje je jednako uniji rešenja oba slučaja.

x \in \ \varnothing \ \cup \ [0, 4] = \ [0, 4]

Konačno rešenje nejednačine je:

x \in [0, 4]

5. Eksponencijalna nejednačina