Eksponencijalna nejednačina: 1,25 i 0,64 sa korenom

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

(1,25)^{1-x}\lt(0,64)^{2(1+\sqrt{x})}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

\sqrt{x}\ge0 \implies x\ge0

Decimalne brojeve pretvoriti u razlomke:

\bigg(\frac 5 4\bigg)^{1-x}\lt \bigg(\frac {16} {25}\bigg)^{2(1+\sqrt{x})}

Sve članove svesti na istu osnovu:

\bigg(\frac 5 4\bigg)^{1-x}\lt \bigg(\frac 54\bigg)^{-4(1+\sqrt{x})}

Kako su osnove iste i veće od 1, moguće je porediti eksponente:

1-x\lt -4(1+\sqrt{x})

Osloboditi se zagrade:

1-x\lt -4-4\sqrt{x}

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

1-x+4+4\sqrt{x}\lt0

Srediti izraz:

-x+4\sqrt{x}+5\lt 0

Pomnožiti izraz sa -1. Prilikom množenja nejednakosti negativnim brojem, promeniti znak nejednakosti u suprotan.

x-4\sqrt{x}-5\gt 0

Uvesti smenu $\sqrt{x}=t.$

t^2-4t-5\gt 0

Pronaći nule funkcije:

t^2-4t-5 = 0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$ gde su $a=1,$ $b=-4$ i $c=-5.$

t_{1,2}=\frac {4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)}} {2\cdot1} \implies t_1=5, \quad t_2=-1

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

(t-5)(t+1)\gt 0

t \in (-\infin, -1)

t\in (-1, 5)

t\in (5, \infin)

t+1

-

+

+

t-5

-

-

+

(t+1)(t-5)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t \in (-\infin, -1) \quad \lor \quad t \in (5, \infin)

Vratiti $\sqrt{x}$ umesto smene $t:$

\sqrt{x} \in (-\infin, -1) \quad \lor \quad \sqrt{x} \in (5, \infin)

Na početku zadatka postavljen je uslov $\sqrt{x}>0,$ zbog čega prvi interval $(-\infin, -1)$ nije moguće rešenje. Rešenje nejednačine je:

\sqrt{x} \in (5, \infin)

x \in (25, \infin)

1. Eksponencijalna nejednačina