Eksponencijalna nejednačina sa osnovom 0,1

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

0,1^{4x^2-2x-2}\le0,1^{2x-3}

REŠENJE ZADATKA

Pošto je osnova $0,1$ ista sa obe strane nejednakosti i $0<0,1<1$ moguće je porediti eksponente uz promenu smera znaka nejednakosti:

4x^2-2x-2\ge 2x-3

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

4x^2-2x-2-2x+3\ge 0

Srediti izraz:

4x^2-4x+1\ge 0

Pronaći nule kvadratne funkcije.

4x^2-4x+1 = 0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-4$ i $c=1$

x_{1,2}=\frac {4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot4\cdot1}} {2\cdot4} \implies x_{1,2}=\frac 12

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

4(x-\frac 12)^2\ge0

Pošto je kvadrat bilo kog realnog broja uvek nenegativan, izraz $4(x-\frac 12)^2$ je $\ge 0$ za sve realne brojeve. Konačno rešenje nejednačine je:

x\in\mathbb{R}

2. Eksponencijalna nejednačina