Eksponencijalna nejednačina: 7 na 1+x + 7 na 1−x < 50

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

7^{1+x}+7^{1-x}\lt50

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

7^1\cdot7^x+7^1\cdot7^{-x}\lt50

Primeniti pravilo za negativan eksponent: $a^{-m}={\frac 1 {a^m}} ,$ $a{=}\mathllap{/\,} 0 :$

7\cdot7^x+7\cdot\frac1{7^x}\lt50

Pomnožiti izraz sa $7^x:$

7\cdot7^{2x}+7\lt50\cdot7^x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka nejednakosti.

7\cdot7^{2x}-50\cdot7^x+7\lt0

Uvesti smenu $7^x=t.$

7t^2-50t+7\lt0

Pronaći nule funkcije:

7t^2-50t+7=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=7,$ $b=-50$ i $c=7$

t_{1,2}=\frac {50\pm\sqrt{(-50)^2-4\cdot7\cdot7}} {2\cdot7} \implies t_1=7, \quad t_2=\frac 1 7

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

7(t-7)(t-\frac 17)\lt0

t\in(-\infty, \frac 17)

t\in(\frac 17, 7)

t\in(7, \infty)

t-7

-

-

+

t-\frac 17

-

+

+

(t-7)(t-\frac 17)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t\in(\frac 17, 7)

Vratiti $7^x$ umesto smene $t:$

7^x\in(\frac 17, 7)

Rešenje nejednačine je:

x\in(-1,1)

4. Eksponencijalna nejednačina