Eksponencijalna jednačina: 5 na x − 5 na 3−x = 20

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

5^x-5^{3-x}=20

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

5^x-5^3\cdot 5^{-x}=20

Primeniti pravilo za negativan eksponent: $a^{-m}={\frac 1 {a^m}} ,$ $a{=}\mathllap{/\,} 0 :$

5^x-\frac {125}{5^x}=20

Pomnožiti izraz sa $5^x:$

5^{2x}-125=20\cdot5^x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

5^{2x}-20\cdot5^x-125=0

Uvesti smenu:

5^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

t^2-20t-125=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-20$ i $c=-125$

t_{1,2}=\frac {20\pm\sqrt{20^2-4\cdot1\cdot(-125)}} {2\cdot1} \implies t_1=25, \quad t_2=-5

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

5^x=-5 \quad \lor\quad 5^x=25

Prva jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

5^x=-5 \implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=2

5. Eksponencijalna jednačina