Eksponencijalna nejednačina: 2 na x + 2 na 1−x < 3

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2^x+2^{-x+1}-3\lt 0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^x+2^{-x}\cdot2^1-3\lt 0

Primeniti pravilo za negativan eksponent: $a^{-m}={\frac 1 {a^m}} ,$ $a{=}\mathllap{/\,} 0 :$

2^x+\frac 1{2^x}\cdot2-3\lt 0

Pomnožiti obe strane nejednakosti sa $2^x.$ Izraz $2^x$ je uvek pozitivan tako da znak nejednakosti ostaje nepromenjen.

2^{2x}-3\cdot2^x+2\lt 0

Uvesti smenu $2^x=t.$

t^2-3t+2\lt0

Pronaći nule funkcije:

t^2-3t+2 = 0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=2$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot2}} {2\cdot1} \implies t_1=2, \quad t_2=1

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

(t-2)(t-1)\lt0

x\in(-\infty, 1)

x\in(1,2)

x\in(2, \infty)

t-2

-

-

+

t-1

-

+

+

(t-2)(t-1)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t\in(1,2)

Vratiti $2^x$ umesto smene $t:$

2^x\in(1,2)

Rešenje nejednačine je:

x\in(0,1)

3. Eksponencijalna nejednačina