Eksponencijalna jednačina sa korenima i 0,125

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{2^x \cdot \sqrt[3]{4^x\cdot (0,125)^{\frac 1x}}}=4\sqrt[3]{2}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo za razlomak u eksponentu: $\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac a b}$

\sqrt{2^x \cdot 4^{\frac x3}\cdot (0,125)^{\frac 1{3x}}}=4\cdot 2^{\frac 1 3}

Ponovo primeniti pravilo za razlomak u eksponentu: $\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac a b}$

2^{\frac x 2} \cdot 4^{\frac x6}\cdot (0,125)^{\frac 1{6x}}=4\cdot 2^{\frac 1 3}

Sve članove svesti na istu osnovu:

2^{\frac x 2} \cdot (2^2)^{\frac x6} \cdot( 2^{-3})^{\frac 1{6x}}=2^2\cdot 2^{\frac 1 3}

Primeniti osnovnu osobinu operacija sa stepenima: ${(a^m)^n}=a^{mn}$

2^{\frac x 2} \cdot 2^{\frac x3} \cdot 2^{-\frac{1}{2x}}=2^2\cdot 2^{\frac 1 3}

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^{\frac x 2+\frac x3-\frac 1 {2x}}=2^{2+\frac 1 3}

Srediti eksponente:

2^{\frac {5x^2-3}{6x}}=2^{\frac 73}

Kako su osnove iste, eksponenti se mogu izjednačiti:

\frac {5x^2-3}{6x}=\frac 73

Unakrsno pomnožiti izraz:

3\cdot(5x^2-3)=7\cdot 6x

Osloboditi se zagrade množenjem:

15x^2-9=42x

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

15x^2-42x-9=0

Podeliti ceo izraz sa 3:

5x^2-14x-3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=5,$ $b=-14$ i $c=-3$

x_{1,2}=\frac {14\pm\sqrt{14^2-4\cdot5\cdot(-3)}} {2\cdot5} \quad \implies \quad x_1=-\frac 1 5, \quad x_2=3

3. Eksponencijalna jednačina