Eksponencijalna jednačina svedena na kubnu jednačinu

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2^{3x+1}+1=2^{2x}+2^{x+1}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^{3x}\cdot2^1+1=2^{2x}+2^x\cdot2^1

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

2^{3x}\cdot2-2^{2x}-2^x\cdot2+1=0

Uvesti smenu:

2^x=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^3-t^2-2t+1=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

t^2(2t-1)-(2t-1)=0

Ponovo izvući zajednički činilac ispred zagrade, koji je u ovom slučaju ceo izraz u zagradi:

(t^2-1)(2t-1)=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(t-1)(t+1)(2t-1)=0

Jednačina ima tri rešenja:

t-1=0 \quad\lor\quad t+1=0 \quad\lor\quad 2t-1=0

Odatle se dobija:

t=1 \quad\lor\quad t=-1 \quad\lor\quad t=\frac 12

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

2^x=1 \quad\lor\quad 2^x=-1 \quad\lor\quad 2^x=\frac 12

Druga jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

2^x=-1\implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem prve i treće jednačine dobija se:

x=0 \quad\lor\quad x=-1

12. Eksponencijalna jednačina