Eksponencijalna jednačina: smena t = 3 na x + 1, zbir 810

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3^{x+2}+9^{x+1}=810

REŠENJE ZADATKA

Sve članove svesti na istu osnovu:

3^{x+2}+3^{2(x+1)}=810

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

3\cdot3^{x+1}+3^{2(x+1)}=810

Uvesti smenu $3^{x+1}=t.$

3t+t^2=810

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

t^2+3t-810=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=3$ i $c=-810$

t_{1,2}=\frac {-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-810)}} {2\cdot1} \implies t_1=-15, \quad t_2=27

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

3^{x+1}=-15 \quad\lor\quad 3^{x+1}=27

Prva jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

3^{x+1}=-15 \implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=2

$3^{x+2}+9^{x+1}=810$