Logaritamska jednačina: log2 (2 na x + 2) = 3 − x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\log_2(2^x+2)=3-x

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

2^x+2>0 \implies x\in\mathbb{R}

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_aa=1, \ a\gt0, \ a\not=1,$ tako da izrazi sa obe strane znaka jednakosti imaju istu osnovu:

\log_2(2^x+2)=(3-x)\log_22

Primeniti osnovnu osobinu logaritama: $\log_ax^s=s\log_ax,\ x\gt0, \ a\gt0, \ a\not=1, \ s\in \mathbb{R}$

\log_2(2^x+2)=\log_22^{3-x}

Kako su osnove jednake, moguće je izjednačiti numeruse:

2^x+2=2^{3-x}

Primeniti pravilo množenja stepena: $a^m \cdot a^n= a^{m+n} :$

2^x+2=\frac8{2^x}

Pomnožiti izraz sa $2^x:$

2^{2x}+2\cdot2^x=8

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti.

2^{2x}+2\cdot2^x-8=0

Uvesti smenu $2^x=t:$

t^2+2t-8=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=2$ i $c=-8$

t_{1,2}=\frac {-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-8)}} {2\cdot1} \implies t_1=-4, \quad t_2=2

Vratiti smenu i uvrstiti dobijena rešenja:

2^x=-4\quad\lor\quad 2^x=2

Prva jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

2^x=-4 \implies x\notin \mathbb{R}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=1

$\log_2(2^x+2)=3-x$