Smena x na 2 + x + 1: proizvod dva trinoma

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12=0

REŠENJE ZADATKA

Jednačina se može zapisati kao:

(x^2+x+1)(x^2+x+1+1)-12=0

Uvesti smenu $x^2+x+1=t.$

t(t+1)-12=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

t^2+t-12=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=1$ i $c=-12$

t_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}} {2\cdot1} \implies t_1=3, \quad t_2=-4

Vratiti smenu $x^2+x+1=t$ i uvrstiti dobijena rešenja.

x^2+x+1=3 \quad\lor\quad x^2+x+1=-4

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=1 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=\frac {-1+ i\sqrt{19}} 2 \quad\lor\quad x=\frac {-1- i\sqrt{19}} 2

$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12=0$