Smena kubnog korena: rešenja 27 i −1/8

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}=3

REŠENJE ZADATKA

Kubni koren je definisan za sve realne brojeve, što znači da izrazi $\sqrt[3]{x}$ i $\sqrt[3]{x^2}$ nemaju ograničenja u domenu. Zaključuje se da je jednačina definisana na celom skupu realnih brojeva.

Uvesti smenu $\sqrt[3]{x}=t .$

2t^2-5t-3=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-5$ i $c=-3$

2t^2-5t-3= 0 \\ t_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)}} {2\cdot2} \\ t_{1,2}=\frac {5\pm\sqrt{25+24}} {4} \\ t_{1,2}=\frac {5\pm 7} {4} \\ t_1=3 \quad \lor \quad t_2=-\frac 12

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

\sqrt[3]{x}=3 \quad \lor \quad \sqrt[3]{x}=-\frac 12

Podizanjem obe strane na treći stepen dobijaju se rešenja:

x=3^3=27 \quad \lor \quad x=(-\frac{1}{2})^3=-\frac 18

Započni učenje

Online časovi

$2\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}=3$

Beleške

2x23−5x3=3 2\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}=3 23x2​−53x​=3

$2\sqrt[3]{x^2}-5\sqrt[3]{x}=3$