Zbir tri kubna korena jednak nuli: rešenje −1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0

REŠENJE ZADATKA

Kubni koren je definisan za sve realne brojeve, što znači da izrazi $\sqrt[3]{x},$ $\sqrt[3]{x+1}$ i $\sqrt[3]{x+2}$ nemaju ograničenja u domenu. Zaključuje se da je jednačina definisana na celom skupu realnih brojeva.

Prebaciti $\sqrt[3]{x+2}$ na drugu stranu znaka jednakosti.

\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2}

Podići obe strane na treći stepen.

( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})^3=(-\sqrt[3]{x+2})^3

Primeniti formulu za kub zbira $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b).$

x+x+1+3\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x+1}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2-2x-1 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3x-3 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3(x+1) \\ \sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-(x+1)

Pošto se na levoj strani jednačine pojavljuje izraz $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1} ,$ koji je na početku rešavanja zadatka već izražen kao $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2},$ može se izvršiti zamena.

\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (-\sqrt[3]{x+2})=-(x+1) \\ \sqrt[3]{x(x+1)}\cdot \sqrt[3]{x+2}=x+1 \\ \sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}=x+1

Podići obe strane na treći stepen.

x(x+1)(x+2)=(x+1)^3

Rešavanjem jednačine dobija se:

x=-1

Proveriti da li $x=-1$ može biti rešenje uvrštavanjem u jednačinu:

\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1+1}+\sqrt[3]{-1+2}= \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{1}=-1+0+1=0

Konačno rešenje je:

x=-1

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0$

Beleške

x3+x+13+x+23=0 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0 3x​+3x+1​+3x+2​=0

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0$