PrethodniSledeći
666.

x3+x+13+x+23=0 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

x3+x+13+x+23=0 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0
REŠENJE ZADATKA

Kubni koren je definisan za sve realne brojeve, što znači da izrazi x3,\sqrt[3]{x}, x+13\sqrt[3]{x+1} i x+23\sqrt[3]{x+2} nemaju ograničenja u domenu. Zaključuje se da je jednačina definisana na celom skupu realnih brojeva.

Prebaciti x+23\sqrt[3]{x+2} na drugu stranu znaka jednakosti.

x3+x+13=−x+23 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2}

Podići obe strane na treći stepen.

(x3+x+13)3=(−x+23)3( \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})^3=(-\sqrt[3]{x+2})^3

Primeniti formulu za kub zbira (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b).(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b).

x+x+1+3⋅x3⋅x+13⋅(x3+x+13)=−x−23x(x+1)3⋅(x3+x+13)=−x−2−2x−13x(x+1)3⋅(x3+x+13)=−3x−33x(x+1)3⋅(x3+x+13)=−3(x+1)x(x+1)3⋅(x3+x+13)=−(x+1)x+x+1+3\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x+1}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-x-2-2x-1 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3x-3 \\ 3\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-3(x+1) \\ \sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1})=-(x+1)

Pošto se na levoj strani jednačine pojavljuje izraz x3+x+13,\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1} , koji je na početku rešavanja zadatka već izražen kao x3+x+13=−x+23, \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}=-\sqrt[3]{x+2}, može se izvršiti zamena.

x(x+1)3⋅(−x+23)=−(x+1)x(x+1)3⋅x+23=x+1x(x+1)(x+2)3=x+1\sqrt[3]{x(x+1)}\cdot (-\sqrt[3]{x+2})=-(x+1) \\ \sqrt[3]{x(x+1)}\cdot \sqrt[3]{x+2}=x+1 \\ \sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}=x+1

Podići obe strane na treći stepen.

x(x+1)(x+2)=(x+1)3x(x+1)(x+2)=(x+1)^3

Rešavanjem jednačine dobija se:

x=−1x=-1

Proveriti da li x=−1x=-1 može biti rešenje uvrštavanjem u jednačinu:

−13+−1+13+−1+23=−13+03+13=−1+0+1=0 \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1+1}+\sqrt[3]{-1+2}= \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{1}=-1+0+1=0

Konačno rešenje je:

x=−1x=-1

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu