664. Iracionalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{5+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x}

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\sqrt[3]{x}=t .$

\sqrt{5+t}+\sqrt{5-t}=t

Jednačina je definisana za:

5+t\ge0 \quad\land\quad 5-t\ge0 \\ t\ge-5 \quad\land\quad t\le5 \\ t\in[-5,5]

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{5+t}+\sqrt{5-t})^2=t^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

5+t+2\cdot\sqrt{5+t}\cdot\sqrt{5-t}+5-t=t^2 \\ 2\cdot\sqrt{5+t}\cdot\sqrt{5-t}=t^2-10 \\ 2\sqrt{(5+t)(5-t)}=t^2-10

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .$

4(5+t)(5-t)=(t^2-10)^2 \quad\land\quad t^2-10\ge0 \\ t^4-16t^2=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

t^2(t^2-16)=0

Jednačina ima dva rešenja:

t^2=0 \quad\lor\quad t^2-16=0 \\ t=0 \quad\lor\quad t=\pm4

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

t=4 \implies \sqrt[3] x=4 \implies x=64 \\ t=-4 \implies \sqrt[3]{x}=-4 \implies x=-64 \\ t=0 \implies \sqrt[3]{x}=0 \implies x=0

Proveriti dobijena rešenja uvrštavanjem u početnu jednačinu i zaključiti da je konačno rešenje:

\sqrt{5+\sqrt[3]{64}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{64}}=\sqrt{5+4}+\sqrt{5-4}=\sqrt9+\sqrt1=3+1=4=\sqrt[3]{64}\\ \qquad x = 64 \ \ \text{ jeste rešenje.} \\ \sqrt{5+\sqrt[3]{-64}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{-64}}=\sqrt{5-4}+\sqrt{5+4}=\sqrt1+\sqrt9=1+3=4\not=\sqrt[3]{-64} \\ \qquad x=-64 \ \ \ \text{nije rešenje} \\ \sqrt{5+\sqrt[3]{0}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{0}}=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt5\not=\sqrt[3]{0} \\ \qquad x=0 \ \ \ \text{nije rešenje}

Konačno rešenje je:

x=64

5+x3+5−x3=x3 \sqrt{5+\sqrt[3]{x}}+\sqrt{5-\sqrt[3]{x}}=\sqrt[3]{x} 5+3x​​+5−3x​​=3x​