Zbir korena jednak korenu iz x + 24: rešenje 1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}=\sqrt{x+24}

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

\sqrt{x+3}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{x+8}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{x+24} \ge0 \\ x+3\ge0 \quad\land\quad x+8\ge0 \quad\land\quad x+24\ge0 \\ x\ge-3 \quad\land\quad x\ge-8 \quad\land\quad x\ge-24 \\ x\ge-3

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8})^2=(\sqrt{x+24} )^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

x+3+2\cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+8}+x+8=x+24 \\ 2\cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+8}=x+24-2x-11 \\ 2\sqrt{(x+3)(x+8)}=13-x

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .$

2(x+3)(x+8)=(13-x)^2 \quad\land\quad 13-x\ge0 \\ 3x^2+70x-73=0 \quad\land\quad x\le13

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=3,$ $b=70$ i $c=-73$

3x^2+70x-73= 0 \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm\sqrt{70^2-4\cdot3\cdot(-73)}} {2\cdot3} \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm\sqrt{4900+876}} {6} \\ x_{1,2}=\frac {-70\pm 76} {6} \\ x_1=-24 \quad \lor \quad x_2=1

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove $x\ge -3$ i $x\le13.$

x_1=-24 \ \text{ne zadovoljava uslov} \ x \ge -3 \\ x_2=1 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge -3 \ \land\ x\le13

Konačno rešenje je:

x=1

$\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}=\sqrt{x+24}$