670. Iracionalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt{x+5}<1-x

REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

x+5\ge 0 \implies x\ge-5

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .$ Pošto je izraz pod korenom strogo manji od izraza sa desne strane znaka nejednakosti, izraz $1-x$ ne sme biti veći ili jednak $0$ nego isključivo veći od $0.$

x+5<(1-x)^2 \quad\land\quad 1-x>0 \\ x^2-3x-4>0 \quad\land\quad x<1

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=-4$

x^2-3x-4= 0 \\ x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{9+16}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {3\pm 5} {2} \\ x_1=4\quad \lor \quad x_2=-1

Pošto je $a=1>0$ i $D=25>0,$ kvadratna funkcija $x^2-5x+6$ je veća od 0 za:

x\in(-\infty, -1) \ \cup \ (4, \infty)

Pronaći presek rešenja i uslova $x\in[-5,1) .$

x\in ( \ (-\infty, -1) \ \cup \ (4, \infty) \ ) \ \cap \ [-5,1)=[-5,-1)

x+5<1−x \sqrt{x+5}<1-x x+5​<1−x

$\sqrt{x+5}<1-x$