678. Iracionalna nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt{7x-3}>\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27}

REŠENJE ZADATKA

Nejednačina je definisana za:

7x-3\ge0 \quad\land\quad 3x-19\ge0 \quad\land\quad 5x-27\ge0 \implies x\ge\frac{19}3

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{7x-3})^2>(\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27})^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

7x-3>3x-19+2\cdot\sqrt{3x-19}\cdot\sqrt{5x-27}+5x-27 \\ -x+33>2\sqrt{(3x-19)(5x-27)}

Podeliti izraz sa $2.$

\sqrt{(3x-19)(5x-27)}<\frac{33-x}2

Nejednačina oblika $\sqrt{a(x)} < b(x)$ ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

a(x)<b^2(x) \ \land \ b(x)> 0

(3x-19)(5x-27)<\bigg(\frac{33-x}2\bigg)^2 \quad\land\quad \frac{33-x}2>0 \\ 15x^2-176x+513<\frac{x^2-66x+1089}4 \quad\land\quad 33-x>0 \\ 60x^2-704x+2052<x^2-66x+1089 \quad\land\quad x<33 \\ 59x^2-638x+962<0 \quad\land\quad x<33

Pošto je $a=59>0$ i $D=180012>0,$ kvadratna funkcija $59x^2-638x+962$ je manja od $0$ za:

x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg) \quad\land\quad x<33 \implies x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg)

Naći presek dobijenih rešenja i uslova $x\ge\frac{19}3.$

x\in\bigg(\frac{107}{59}, 9\bigg) \ \cap \ [\frac {19}3,\infty)=[\frac{19}3,9)

7x−3>3x−19+5x−27 \sqrt{7x-3}>\sqrt{3x-19}+\sqrt{5x-27} 7x−3​>3x−19​+5x−27​