660.

2x+8+x+5=7\sqrt{2x+8}+\sqrt{x+5}=7

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2x+8+x+5=7\sqrt{2x+8}+\sqrt{x+5}=7
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

2x+8≥0∧x+5≥02x≥−8∧x≥−5x≥−4∧x≥−5x≥−42x+8 \ge 0 \quad \land \quad x+5 \ge 0 \\ 2x \ge -8 \quad \land \quad x \ge -5 \\ x \ge -4 \quad \land \quad x \ge -5 \\ x \ge -4

Kvadrirati obe strane.

(2x+8+x+5)2=72(\sqrt{2x+8}+\sqrt{x+5})^2=7^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.

2x+8+2⋅2x+8⋅x+5+x+5=492⋅2x+8⋅x+5=−3x+49−132(2x+8)(x+5)=−3x+362x+8 + 2\cdot \sqrt{2x+8} \cdot \sqrt{x+5} + x+5 = 49 \\ 2\cdot \sqrt{2x+8} \cdot \sqrt{x+5} = -3x + 49 - 13 \\ 2 \sqrt{(2x+8)(x+5)} = -3x + 36

Jednačina oblika a(x)=b(x)\sqrt{a(x)} = b(x) je ekvivalentna sistemu a(x)=b2(x) ∧ b(x)≥0 .a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .

4(2x+8)(x+5)=(−3x+36)2∧−3x+36≥0x2−288x+1136=0∧x<124 (2x+8)(x+5) = (-3x + 36)^2 \quad \land \quad -3x + 36 \ge 0 \\ x^2-288x+1136= 0 \quad \land \quad x < 12

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=−288b=-288 i c=1136c=1136

x2−288x+1136=0x1,2=288±(−288)2−4⋅1⋅11362⋅1x1,2=288±82944−45442x1,2=288±2802x1=284∨x2=4x^2-288x+1136= 0 \\ x_{1,2}=\frac {288\pm\sqrt{(-288)^2-4\cdot1\cdot1136}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {288\pm\sqrt{82944-4544}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {288\pm 280} {2} \\ x_1=284 \quad \lor \quad x_2=4

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove x≥−4x\ge -4 i x<12.x<12.

x1=284 ne zadovoljava uslov x<12x2=4 zadovoljava uslove x≥−4 ∧ x<12x_1=284 \ \text{ne zadovoljava uslov} \ x< 12 \\ x_2=4 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge -4 \ \land\ x<12

Konačno rešenje je:

x=4x=4