Koren iz 6 − x − x na 2 jednak x + 1: rešenje 1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{6-x-x^2}=x+1

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

6-x-x^2\ge0 \implies x\in[-3,2]

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{6-x-x^2})^2=(x+1)^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.$

6-x-x^2=x^2+2x+1 \\ 2x^2+3x-5=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=3$ i $c=-5$

2x^2+3x-5=0 \\ x_{1,2}=\frac {-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-5)}} {2\cdot2} \\ x_{1,2}=\frac {-3\pm\sqrt{9+40}} {4} \\ x_{1,2}=\frac {-3\pm 7} {4} \\ x_1=1 \quad \lor \quad x_2=-\frac 52

Uvrštavanjem dobijene vrednosti u početni izraz, proveriti da li rešenje zadovoljava jednačinu.

x_1=1 \quad \sqrt{6-1-1^2}=1+1 \\ \qquad\qquad \sqrt4=2 \\ \qquad\qquad2=2 \\ \qquad\qquad x_1=1\ \text{jeste rešenje} \\ x_2=-\frac 52 \quad \sqrt{6-\bigg(-\frac 52\bigg)-\bigg(-\frac 52\bigg)^2}=1-\frac 52 \\ \qquad\qquad \sqrt{\frac 94}=-\frac 32 \\ \qquad\qquad \frac32=-\frac32 \\ \qquad\qquad x_2=-\frac 52 \ \text{nije rešenje}

Konačno rešenje je:

x=1

$\sqrt{6-x-x^2}=x+1$