662.

7x−1−3x−18=5 \sqrt{7x-1}-\sqrt{3x-18}=5

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

7x−1−3x−18=5\sqrt{7x-1}-\sqrt{3x-18}=5
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

7x−1≥0∧3x−18≥07x−1≥0∧3x−18≥07x≥1∧3x≥18x≥17∧x≥6x∈[6,∞)\sqrt{7x-1}\ge0 \quad\land\quad \sqrt{3x-18}\ge0 \\ 7x-1\ge 0 \quad\land\quad 3x-18\ge0 \\ 7x\ge1 \quad\land\quad 3x\ge 18 \\ x\ge \frac 17 \quad\land\quad x\ge6 \\ x\in[6, \infty)

Kvadrirati obe strane.

(7x−1−3x−18)2=52(\sqrt{7x-1}-\sqrt{3x-18})^2=5^2

Primeniti formulu za kvadrat razlike (a−b)2=a2−2ab+b2.(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2.

7x−1−2⋅7x−1⋅3x−18+3x−18=25−2⋅7x−1⋅3x−18=25−10x+192(7x−1)(3x−18)=10x−447x-1-2\cdot \sqrt{7x-1} \cdot\sqrt{3x-18}+3x-18=25 \\ -2\cdot \sqrt{7x-1} \cdot\sqrt{3x-18}=25-10x+19 \\ 2\sqrt{(7x-1)(3x-18)}=10x-44 \\

Jednačina oblika a(x)=b(x)\sqrt{a(x)} = b(x) je ekvivalentna sistemu a(x)=b2(x) ∧ b(x)≥0 .a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ .

4(7x−1)(3x−18)=(10x−44)2∧10x−44≥04x2−91x+466=0∧x≥2254(7x-1)(3x-18)=(10x-44)^2 \quad \land \quad 10x-44\ge0 \\ 4x^2-91x+466=0 \quad \land \quad x\ge\frac {22}{5}

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=4,a=4, b=−91b=-91 i c=466c=466

4x2−91x+466=0x1,2=91±(−91)2−4⋅4⋅4662⋅4x1,2=91±8281−74568x1,2=91±8258x1=91−5338≈14,97∨x2=91+5338≈7,784x^2-91x+466=0 \\ x_{1,2}=\frac {91\pm\sqrt{(-91)^2-4\cdot4\cdot466}} {2\cdot4} \\ x_{1,2}=\frac {91\pm\sqrt{8281-7456}} {8} \\ x_{1,2}=\frac {91\pm 825} {8} \\ x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8\approx14,97 \quad \lor \quad x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8\approx7,78

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslove x≥6x\ge6 i x≥225.x\ge\frac {22}5.

x1=91−5338≈14,97 zadovoljava uslove x≥6∧x≥225x2=91+5338≈7,78 zadovoljava uslove x≥6∧x≥225x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8\approx14,97 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge6 \quad\land\quad x\ge\frac{22}5 \\ x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8\approx7,78 \ \text{zadovoljava uslove} \ x\ge6 \quad\land\quad x\ge\frac{22}5

Konačno rešenje je:

x1=91−5338∨x2=91+5338x_1=\frac {91-5\sqrt{33}}8 \quad \lor \quad x_2=\frac{91+5\sqrt{33}}8