Iracionalna jednačina: koren iz x + 2 jednak x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{x+2}=x

REŠENJE ZADATKA

Jednačina oblika $\sqrt{a(x)} = b(x)$ je ekvivalentna sistemu $a(x)=b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \land \ a(x)\ge0.$

x+2=x^2 \quad \land \quad x \ge 0 \quad \land \quad x+2 \ge 0 \\ x^2-x-2=0 \quad \land \quad x \ge 0 \quad \land \quad x \ge -2

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-1$ i $c=-2$

x^2-x-2=0 \\ x_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}} {2\cdot1} \\ x_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{1+8}} {2} \\ x_{1,2}=\frac {1\pm 3} {2} \\ x_1=2 \quad \lor \quad x_2=-1

Proveriti da li dobijena rešenja zadovoljavaju uslov $x\ge 0.$

x_1=2 \ \text{zadovoljava uslov} \ x\ge 0 \\ x_2=-1 \ \text{ne zadovoljava uslov} \ x\ge 0

Konačno rešenje je:

x=2

$\sqrt{x+2}=x$