Jednačina sa korenom u imeniocu: rešenje x = −3

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{9-5x}=\sqrt{3-x}+\frac 6 {\sqrt{3-x}}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove jednačine:

9-5x\ge0 \quad\land\quad 3-x>0 \implies x\in(-\infty,0) \ \cup (0, \frac95]

Kvadrirati obe strane.

(\sqrt{9-5x})^2=\bigg(\sqrt{3-x}+\frac 6 {\sqrt{3-x}} \bigg)^2

Primeniti formulu za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

9-5x=3-x+2\cdot\sqrt{3-x}\cdot\frac{6} {\sqrt{3-x}}+\frac {36} {3-x}\\ 9-5x=3-x+\frac{12\sqrt{3-x}} {\sqrt{3-x}}+\frac {36} {3-x}\\ 9-5x=3-x+12+\frac {36} {3-x}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti.

9-3-12=5x-x+\frac {36} {3-x} \\ -6=4x+\frac {36} {3-x}

Pomnožiti izraz sa $3-x.$

-6(3-x)=4x(3-x)+36 \\ -18+6x=12x-4x^2+36 \\ 4x^2-6x-54=0

Podeliti izraz sa $2.$

2x^2-3x-27=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-3$ i $c=-27$

x_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-27)}} {2\cdot2} \implies x_1=-3, \quad x_2=\frac 92

Rešenje $x_2=\frac 92$ ne zadovoljava uslov $x\in(-\infty,0) \ \cup (0, \frac95] .$

Rešenje jednačine je $x=-3.$

$\sqrt{9-5x}=\sqrt{3-x}+\frac 6 {\sqrt{3-x}}$