661. Iracionalna jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}}=3

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana za:

12-x\sqrt{x^2-8}\ge0 \quad \land \quad x^2-8\ge0

Kvadrirati obe strane.

\Big(\sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}} \ \Big)^2=3^2 \\ 12-x\sqrt{x^2-8}=9

Prebaciti $12$ na drugu stranu znaka jednakosti.

-x\sqrt{x^2-8}=-3

Pomnožiti izraz sa $-1.$

x\sqrt{x^2-8}=3

Leva strana sadrži kvadratni koren, koji je uvek pozitivan, pa znak leve strane zavisi isključivo od znaka $x.$ Kako desna strana jednačine uvek daje pozitivnu vrednost, leva strana mora biti pozitivna, što dovodi do dodatnog uslova:

x>0

Kvadrirati obe strane.

x^2(x^2-8)=9

Osloboditi se zagrada množenjem i prebaciti $9$ na drugu stranu znaka jednakosti.

x^4-8x^2-9=0

Uvesti smenu $x^2=t.$

t^2-8t-9=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-8$ i $c=-9$

t^2-8t-9=0 \\ t_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(-9)}} {2\cdot1} \\ t_{1,2}=\frac {8\pm\sqrt{64+36}} {2} \\ t_{1,2}=\frac {8\pm 10} {2} \\ t_1=-1 \quad \lor \quad t_2=9

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

x^2=-1 \quad\lor\quad x^2=9

Jednačina $x^2=-1$ nema rešenje u skupu realnih brojeva, jer kvadrat bilo kog realnog broja uvek daje nenegativan rezultat.

Rešenje drugog slučaja je:

x=\pm3

Rešenje $x=-3$ ne zadovoljava uslov $x>0.$

Proveriti da li $x=3$ može biti rešenje uvrštavanjem u jednačinu:

x_1=3 \quad \sqrt{12-3\sqrt{3^2-8}}=3\\ \qquad\qquad \sqrt{12-3\sqrt{9-8}}=3 \\ \qquad\qquad \sqrt{12-3}=3 \\ \qquad\qquad \sqrt{9}=3 \\ \qquad\qquad 3=3 \\ x_1=3 \quad \text{jeste rešenje} \\

Konačno rešenje je:

x=3

12−xx2−8=3 \sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}}=3 12−xx2−8​​=3

$\sqrt{12-x\sqrt{x^2-8}}=3$