Iracionalna nejednačina: koren veći od 2x − 2

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt{3x^2-2x-1} \ge2x-2

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove nejednačine:

3x^2-2x-1\ge0 \implies x\in(-\infty, -\frac 13] \ \cup \ [1,\infty)

Nejednačina oblika $\sqrt{a(x)} > b(x)$ ekvivalentna je disjunkciji sistema nejednačina:

\Big(\ a(x)>b^2(x) \ \land \ b(x)\ge 0 \ \Big) \lor \Big(\ a(x) \ge 0 \ \land \ b(x)<0\ \Big)

\Big( \ 3x^2-2x-1\ge(2x-2)^2 \ \land \ 2x-2\ge0 \ \Big) \quad \lor \quad \Big(\ 3x^2-2x-1 \ge 0 \ \land \ 2x-2\le0\ \Big) \\ \Big( \ 3x^2-2x-1\ge4x^2-8x-4 \ \land \ 2x \ge 2 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ (3x+1)(x-1) \ge 0 \ \land \ 2x\le2\ \Big) \\ \Big( \ x^2-6x+5\le0 \ \land \ x \ge 1 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ (3x+1)(x-1) \ge 0 \ \ \land \ x \le 1 \ \Big) \\ \Big( \ x \in [1,5] \ \land \ x \ge 1 \ \Big ) \quad \lor \quad \Big(\ x \in(-\infty, -\frac13]\ \ \land \ x \le 1\ \Big)

Konačno rešenje je:

x\in(-\infty, -\frac 13] \ \cup \ [1,5]

$\sqrt{3x^2-2x-1} \ge2x-2$