Jednačina sa smenom korena iz x + 2: interval rešenja

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} +\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}=4

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu.

\sqrt{x+2}=t \\ x+2=t^2 \ \land \ t\ge0 \\ x=t^2-2

Izraziti jednačinu preko promenljive $t.$

\sqrt{t^2-2+3-2t} +\sqrt{t^2-2+27-10t}=4 \\ \sqrt{t^2-2t+1} +\sqrt{t^2-10t+25}=4

Primeniti formulu za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

\sqrt{(t-1)^2} +\sqrt{(t-5)^2}=4

Primeniti svojstvo apsolutne vrednosti: $\sqrt{x^2}=|x|.$

|t-1|+|t-5|=4

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad a < 0 \end {cases}$

|t-1|= \begin {cases} t-1, \quad t-1 \ge 0\\ -(t-1), \quad t-1 < 0 \end {cases} \\ |t-1|= \begin {cases} t-1, \quad t \ge 1\\ -(t-1), \quad t < 1 \end {cases}

|t-5|=\begin {cases} t-5, \quad t-5\ge 0 \\ -(t-5), \quad t-5<0 \end {cases} \\ |t-5|=\begin {cases} t-5, \quad t\ge 5 \\ -(t-5), \quad t<5 \end {cases}

t\in(-\infty,1)

t\in[1,5)

t\in[5, \infty)

|t-1|

-t+1

t-1

t-1

|t-5|

-t+5

-t+5

t-5

Rešavanje jednačine razdvojiti na tri slučaja, u zavisnosti od intervala kojem $t$ pripada.

1. \quad t\in(-\infty, 1) \\ 2. \quad t\in[1,5) \\ 3. \quad t\in [5, \infty)

1. Kada $t\in(-\infty, 1)$ jednačina postaje:

-(t-1)-(t-5)=4 \\ -t+1-t+5=4 \\ -2t+6=4 \\ -2t=-2 \\ t=1

Pošto $1 \notin (-\infty, 1),$ jednačina u prvom slučaju nema rešenje.

2. Kada $t\in[1,5)$ jednačina postaje:

t-1-(t-5)=4 \\ t-1-t+5=4 \\ 4=4

Jednačina u drugom slučaju je tačna za svako $t$ iz intervala $[1,5)$

3. Kada $t\in[5, \infin)$ jednačina postaje:

t-1+t-5=4 \\ 2t-6=4 \\ 2t=10 \\ t=5

Pošto $5 \in [5, \infin),$ rešenje jednačine u trećem slučaju je $5.$

Rešenje je jednako uniji rešenja sva tri slučaja.

t\in[1,5]

Vratiti promenljivu $x$ umesto $t.$

t\in [1,5] \\ x\in[1^2-2,\ 5^2-2]\\ x\in[-1,\ 23]

$\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} +\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}=4$